求极限的考研真题

探索数学中的极限：考研题解析与解题技巧

一、题目描述

考虑函数 \( f(x) = \frac{x^2 4}{x 2} \)，求 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。

二、解析与解题步骤

在解决这个问题之前，我们需要了解极限的定义以及一些基本的极限性质。

1. 极限的定义

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)，总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x x_0| < \delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 满足不等式 \(|f(x) A| < \varepsilon\)，那么称函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的极限为 \(A\)，记作 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)。

2. 求极限的常用方法

代入法：直接将极限点代入函数，得到极限值。

因式分解法：对函数进行因式分解，化简后求极限。

引理法：利用已知的极限性质和基本极限求出所需的极限。

3. 解题步骤

1. 我们尝试直接代入 \(x = 2\)，得到 \(f(2) = \frac{2^2 4}{2 2} = \frac{0}{0}\)。

2. 这时我们发现直接代入出现了不确定形式，因此我们需要通过其他方法来求解。

3. 可以观察到函数 \(f(x)\) 的分母含有 \(x 2\)，因此我们可以尝试因式分解来化简。

\[

f(x) = \frac{x^2 4}{x 2} = \frac{(x 2)(x 2)}{x 2}

\]

4. 分子分母都含有 \(x 2\)，可以约去，得到 \(f(x) = x 2\)。

5. 现在我们可以直接代入 \(x = 2\)，得到 \(f(2) = 2 2 = 4\)。

三、结论

根据以上步骤，我们得出 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\)。

四、解题技巧与注意事项

1. 当直接代入极限点得到不确定形式时，应考虑使用其他方法来求解，如因式分解、引理法等。

2. 注意观察函数的特点，有时候可以通过化简或变形来简化问题。

3. 熟练掌握基本的极限性质和常用的求极限方法，可以更快更准确地解题。

以上是对求极限考研题的解析与解题技巧，希望对你有所帮助！

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