南京大学物理考研真题答案

南京大学物理考研真题解析

南京大学物理考研真题通常涵盖了多个领域，包括经典力学、电磁学、量子力学、热力学等。这里我们选取了一道典型的题目进行解析，以展示解题思路和方法。

题目：

题目内容：

考虑一个质量为\( m \)的单原子理想气体分子在二维势阱中运动。该势阱的形状为一个半径为\( R \)的圆形，即\( V(x,y)=0 \)，当\( x^2 y^2 \leq R^2 \)时，否则\( V(x,y)=\infty \)。试计算此时气体的内能\( U \)。

解析：

这道题目考察的是理想气体在二维势阱中的内能计算。我们可以利用能量量子化的概念来解决这个问题。

对于一个二维自由粒子，其能量可表示为：

\[ E_{n_x, n_y} = \frac{{n_x^2 n_y^2}}{{2m}} \]

其中\( n_x \)和\( n_y \)为量子数，分别表示在\( x \)和\( y \)方向上的量子数，\( m \)为粒子的质量。

由于在势阱内粒子受限运动，\( n_x \)和\( n_y \)的取值受到限制。根据泡利不相容原理，在二维势阱中，每个能级\((n_x, n_y)\)最多只能容纳一个粒子。

因此，气体的总内能\( U \)可表示为各个能级的能量之和。考虑到每个能级的能量为\( E_{n_x, n_y} \)，因此我们只需要求解在势阱内能量小于给定能量的能级数量即可。

以一定能量\( E \)为界限，求出满足条件\( n_x^2 n_y^2 \leq 2mE \)的整数对\( (n_x, n_y) \)的个数，即可得到总内能。

进一步，我们可以将求解过程转化为几何问题，即在一个圆形区域内计算整数点的数量。

解答步骤：

1.

确定能级范围：

由于能级\( E_{n_x, n_y} \)的能量与\( n_x^2 n_y^2 \)成正比，所以能量小于给定能量\( E \)的条件可表示为\( n_x^2 n_y^2 \leq 2mE \)，从而确定了\( n_x \)和\( n_y \)的取值范围。

2.

计算整数点数量：

在一个圆形区域内，我们可以通过计算其内部整数点的数量来求解。这个问题可以转化为计算圆形内的格点数量，即\( n_x^2 n_y^2 \leq 2mE \)条件下满足的整数点数量。

3.

求解总内能：

根据满足条件的整数点数量，乘以单个粒子能级的能量，即可得到总内能\( U \)。

结论：

通过以上步骤，我们可以得到气体在二维势阱中的内能\( U \)的计算方法。这个方法既考察了对理想气体能级的理解，又考察了将物理问题转化为数学问题求解的能力。

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